Chapter1:振动

一、简谐振动

简谐振动方程

x=Acos(ωt+Φ)x=Acos(ωt+Φ)

  • 在水平方向上的弹簧振子简谐运动中,有

    ω=kmω=\sqrt{\frac{k}{m}}

  • x对t求导得到v函数

v=dxdt=Aωsin(ωt+Φ)=Aωcos(ωt+Φ+π2)v=\frac{dx}{dt}=-Aωsin(ωt+Φ)=Aωcos(ωt+Φ+\frac{\pi}{2})

  • v对t求导得到a的函数

a=dvdt=(dx)2dt2=Aω2cos(ωt+Φ)=ω2xa=\frac{dv}{dt}=\frac{(dx)^2}{dt^2}=-Aω^2cos(ωt+Φ)=-ω^2x

  • 观察上式可得出结论:

    最大位移为Xm,最大速度为Vm,最大加速度为am

    则有|Xm|=A,|Vm|=Aω,|am|=Aω²

描述简谐振动特征的物理量

  • 振幅A:振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,反映振动强弱程度的物理量;

  • 角频率ω:

    ω=2πf=2πTω=2\pi f=\frac{2\pi}{T}

  • 相位ωt+Φ:称为振动系统在时刻t的相位,其中Φ是振动系统在t=0时刻的相位,称为初相位。

    相位每变化2π,振动的物体就完成一次全振动;

  • t=0时,有

    x0=xt=0=AcosΦv0=vt=0=ωAsinΦx_0=x|t=0=AcosΦ\\v_0=v|t=0=-ωAsinΦ

    由上式可得出

    A=(x0)2+(v0ω)2,tanΦ=v0ωx0A=\sqrt{(x_0)^2+(\frac{v_0}{ω})^2},tanΦ=-\frac{v_0}{ωx_0}

简谐振动的图示法——旋转矢量法

简谐振动的能量

  • 弹性势能Ep

    Ep=12kx2=12kA2cos2(ωt+Φ)E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(ωt+Φ)

  • 动能Ek

    Ek=12mv2=12mω2A2sin2(ωt+Φ)=12kA2sin2(ωt+Φ)E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mω^2A^2sin^2(ωt+Φ)=\frac{1}{2}kA^2sin^2(ωt+Φ)

  • 因此,弹簧谐振子的总机械能为E

    E=Ek+Ep=12kA2=12mω2A2E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2=\frac{1}{2}mω^2A^2

  • 由此可知,弹簧谐振子的总机械能是一个不随时间变化的常量,即系统的机械能守恒。这也是简谐振动的一个显著的特征;

  • 振幅不仅给出了简谐振动的运动范围,而且还反应了振动系统总能量的大小,或者说反应了振动的强度;

  • 此外,弹簧谐振子的势能平均值和动能平均值(可以分别称为平均势能和平均动能)相等并且等于总机械能的一半。这一结论同样适用于其他简谐振动。

二、简谐振动的合成

两个同方向同频率简谐振动的合成

  • 设某物体同时参与两个同方向,同频率的简谐振动,其表达式分别为

    x1=A1cos(ωt+Φ1)x2=A2cos(ωt+Φ2)x_1=A_1cos(ωt+Φ_1)\\ x_2=A_2cos(ωt+Φ_2)

  • 根据叠加原理,该物体在任意时刻的合振动的位移为

    x=x1+x2=A1cos(ωt+Φ1)+A2cos(ωt+Φ2)x=x_1+x_2=A_1cos(ωt+Φ_1)+A_2cos(ωt+Φ_2)

  • 合振动的表达式为

    x=Acos(ωt+Φ)x=Acos(ωt+Φ)

  • 其中可以利用余弦定理得到合振幅

    A=A12+A22+2A1A2cos(Φ2Φ1)A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(Φ_2-Φ_1)}

初相位Φ满足

tanΦ=A1sinΦ1+A2sinΦ2A1cosΦ1+A2cosΦ2tanΦ=\frac{A_1sinΦ_1+A_2sinΦ2}{A_1cosΦ_1+A_2cosΦ_2}

合振幅不仅与两个分振幅有关,还与两个分振动的相位差有关;

合振幅的值将介于最大值A1+A2和最小值|A1-A2|之间。

Chapter2:波动

一、波动方程、平面简谐波

  • 一维简谐波的波函数

y(x,t)=Acos(ωtkx+Φ),k=2πλ沿xy(x,t)=Acos(ωt+kx+Φ),k=2πλ沿xy(x,t)=Acos(ωt-kx+Φ),k=\frac{2\pi}{λ} 波沿x轴正向传播\\ y(x,t)=Acos(ωt+kx+Φ),k=\frac{2\pi}{λ} 波沿x轴负向传播

利用式中各物理量之间的关系,波函数还可以改写成

y(x,t)=Acos[2π(tTxλ+ϕ)]y(x,t)=Acos[2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{λ}+\phi)]

  • 速度与加速的的函数同样是用求导的方法得到

v(x,t)=yt=ωAsin[ω(txu)+ϕ],ua=vt=yt2=ω2Acos[ω(txu)+ϕ]v(x,t)=\frac{∂y}{∂t}=-\omega Asin[\omega (t-\frac{x}{u})+\phi],u为波速\\ a=\frac{∂v}{∂t}=\frac{∂^y}{∂t^2}=-\omega^2Acos[\omega (t-\frac{x}{u})+\phi]

  • 通过波函数判断振动方向

    上坡下振,下坡上振

二、波的能量、能流密度

  • 在简谐波的传播过程中,任意质元的动能和势能都随时间而变化,但是在任何时刻,势能和动能都是同相位的,其值也是完全相等的;
  • 动能达到最大值时,势能也达到最大值;动能为零时,势能也为零;
  • 在波的传播过程中,任意质元的总机械能不是一个常量,而是随时间做周期性变化的;
  • 质元从比自己相位超前的部分接受能量,又向比自己相位滞后的部分输出能量;
  • 能量伴随波动过程而传播,波动是能量传输的一种方式;
  • 质元运动到平衡位置时能量最大。

波的能量密度

  • 单位体积中波的能量称为波的能量密度,简称波能密度,用w表示;

w=dEdV=ρω2A2sin2[ω(txu)+ϕ]w=\frac{dE}{dV}=\rho\omega^2A^2sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi]

  • 波的平均能量密度与介质的密度ρ,角频率ω的平方以及振幅A的平方成正比。这一结论虽然是由平面简谐波导出的,但是对于各种机械波都是适用的。

    w=12ρω2A2\overline{w}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2

波的能流密度

  • 波动的过程是波的能量“流动的过程”,因此要引入表征波的能量流动的物理量——波的能流密度,用I表示;

  • 单位时间内通过截面S的波的能量称为波的平均能流,用Q表示

  • 通过单位面积的波的平均能流用I表示

Q=wSuI=wu=12ρω2A2uQ=\overline{w}Su\\I=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2u

  • I称为平均能流密度矢量或波的强度。

  • 对于平面简谐波,沿波线方向,即波的传播方向,波的振幅是不变的,因而波的强度也是不变的;

  • 而对于球面简谐波而言,沿波线方向,振幅是变化的,因而波的强度也是变化的;

  • 如果取距波源(也就是球面波的球心)单位距离处的振幅为A0,于是球面波在距波源r处的振幅可以表示为A=A0/r,从而球面简谐波的波函数可以表示为

y(r,t)=A0rcos[ω(tru)+ϕ]y(r,t)=\frac{A_0}{r}cos[\omega(t-\frac{r}{u})+\phi]

以上讨论都认定介质是无吸收的理想介质。

三、电磁波

电磁波的性质

  1. 电磁波是横波;

  2. 电场强度E与磁场强度H同相位;

    ,c=1ϵ0μ03×108m/su=1ϵ0ϵrμ0μr=1ϵμ,ϵr,μr在真空中,电磁波的传播速度大小表示为c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\approx3\times10^8m/s\\ 而在介质中电磁波的传播速度大小则表示为u=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\epsilon_r\mu_0\mu_r}}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}\\ 式中,\epsilon_r,\mu_r分别为介质的相对介电常量和相对磁导率\\

  3. 电磁波的能量密度与能流密度;

    we=12ϵ0E2wm=12μ0H2w=we+wm,,ϵ0E=μ0Hw=1cEH电场的能量密度可以表示为w_e=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2\\ 磁场的能量密度可以表示为w_m=\frac{1}{2}\mu_0H^2\\ 所以电磁场的能量密度w=w_e+w_m\\ 在电磁波传播过程中,理论和实验都证明,在任何时刻空间中的任何地点\\ \underline{电场的能量密度与磁场的能量密度都相等}\\ 由此可得\sqrt{\epsilon_0}E=\sqrt{\mu_0}H\\ 电磁场的能量密度又可以表示为w=\frac{1}{c}EH\\

    ,,,SdS=wc=E×H,电磁波在空间传播时,在某一时刻,单位时间内通过与电磁场传播方向相垂直的单位面积的能量\\ 称为电磁波的瞬时能流密度,通常用S来表示\\ d电磁波的瞬时能流密度可以表示为S=wc=E\times H\\ 上式表明,能流密度与电场强度和磁场强度之间符合右手螺旋的关系\\

    • 为方便起见,引入电磁波的平均能流密度,即电磁波的强度,用I表示;

    • 平均而言,在单位时间内,通过与电磁波传播方向垂直的单位面积的能量,或者说,通过与电磁波传播方向相垂直的单位面积的平均功率,就是电磁波的平均能流密度,也就是电磁波的强度;

      w,EH,I=S=wc=EH,I=S=12ϵμE02=12μϵH02若电磁波的平均能量密度用\overline{w}表示,电场强度和磁场强度的平均值分别用\overline{E}和\overline{H}表示\\ 则电磁波的平均能流密度,即电磁波的强度可以表示为I=\overline{S}=\overline{w}c=\overline{EH}\\ 在介质中传播时,I=\overline{S}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}E_0^2=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}H_0^2

四、波的干涉

波的叠加

  • 波的叠加问题实际上是振动的合成问题;

  • Example:有波源S1,S2距P点距离分别为r1,r2,则两波在P点引起的振动分别为

y1=A1cos[ω1(tr1u)+ϕ1]y2=A2cos[ω2(tr2u)+ϕ2]y_1=A_1cos[\omega_1(t-\frac{r_1}{u})+\phi_1]\\ y_2=A_2cos[\omega_2(t-\frac{r_2}{u})+\phi_2]

  • 式中,u为介质中的波速

  • P点在时刻t合振动振幅的二次方为

A2=A12+A22+2A1A2cosΔϕΔϕ=(ω2ω1)tω2r2ω1r1u+ϕ2ϕ1A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta\phi\\ \Delta\phi=(\omega_2-\omega_1)t-\frac{\omega_2r_2-\omega_1r_1}{u}+\phi_2-\phi_1

P点合成波的强度为I

I=I1+I2+2I1I2cosΔϕcosΔϕ0PI=I1+I2I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\overline{cos\Delta\phi}\\ 在当前所学情况下,有\overline{cos\Delta\phi}\equiv0\\ 于是,P点的合成波强度为I=I1+I2

综上所述,当两列波的振动方向相互垂直,或两列波的角频率不相等,或两列波的初相位差不恒定(即随时间变化)时,合成波的强度等于每个波的强度之和。这种波的叠加称为非相干叠加。

波的干涉

  • 当两列波的振动方向相同,并且角频率也相同,以及两波源相位差恒定(也就是两列波的初相位差恒定)时,这两列简谐波称为相干波。这是两列波的叠加称为相干叠加。无论在理论上,还是在实践中相干叠加都具有非常重要的意义。相干叠加的结果可以产生干涉现象。

  • 干涉情况下,有

Δϕ=(ϕ2ϕ1)ωu(r2r1)=(ϕ2ϕ1)2πλ(r2r1)A=A12+A22+2A1A2cosΔϕI=I1+I2+2I1I2cosΔϕ\Delta\phi=(\phi_2-\phi_1)-\frac{\omega}{u}(r_2-r_1)=(\phi_2-\phi_1)-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)\\ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta\phi}\\ I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\Delta\phi

  • Δϕ={±2kπk=0,1,2,...A=A1+A2,I=I1+I2+2I1I2±(2k+1)πk=0,1,2,...A=A1A2,I=I1+I22I1I2others\Delta\phi=\begin{cases} \pm2k\pi & k=0,1,2,... \Rightarrow振幅和强度最大,干涉相长或相长干涉A=A_1+A_2,I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\\ \pm(2k+1)\pi & k=0,1,2,... \Rightarrow振幅和强度最小,干涉相消或相消干涉A=|A_1-A_2|,I=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}\\ others & 在相位差为其他值的地方,其振幅和强度都介于上述两种极端情况之间 \end{cases}

  • 如果两波源的初相位相同,即Φ1=Φ2,则相干波的相位差ΔΦ只取决于波程差δ=r2-r1,上述结论简化为

    δ=r2r1={±kλk=0,1,2,...±(2k+1)λ2k=0,1,2,...\delta=r_2-r_1=\begin{cases} \pm k\lambda & k=0,1,2,... \Rightarrow干涉相长\\ \pm(2k+1)\frac{\lambda}{2} & k=0,1,2,... \Rightarrow干涉相消 \end{cases}

  • 由以上分析可知,只有相干波,即满足振动方向相同,频率相同,相位差恒定的简谐波,叠加才能产生干涉现象。因而把振动方向相同,频率相同,相位差恒定称为简谐波的相干条件。

驻波

  • 驻波是波的干涉的特例。两列传播方向相反的相干波相干叠加的结果就形成驻波;

  • 设有两列相干波,分别沿x轴正方向和负方向传播,为简单起见,进一步假设这两列波的振幅相同

    他们的表达式分别为

    y1=Acos(ωt2πλx)y2=Acos(ωt+2πλx)y=y1+y2=2Acos2πλxcosωt,cosωt,2Acos2πλx,,Δx=λ2y_1=Acos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ y_2=Acos(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x)\\ 其合成波为y=y_1+y_2=2Acos\frac{2\pi}{\lambda}xcos\omega t\\ 此式就是驻波的表达式\\ 式中,cos\omega t表示简谐振动,而|2Acos\frac{2\pi}{\lambda}x|就是该简谐振动的振幅\\ 各点都以相同的频率,不同的振幅做简谐振动\\ 振幅最大的各点称为驻波的波腹,振幅最小的各点称为波节\\ 相邻两个波腹或相邻两个波节之间的距离为\Delta x=\frac{\lambda}{2}\\ 相邻波节之间各点的振动都是同相位的\\ 而波节两侧的振动都是反相位的\\

Chapter3:波动光学

一、光的干涉

简介

  • 定义光程L=nr,两类相干波的相位差可以转换为光程差。通过几何关系找到光程差,进而得到相位差;

  • 波动最显著的特征之一,就是能产生干涉现象。光波也是如此,当空间中相遇的两个或两个以上的波彼此之间满足相干条件时,就会产生干涉现象;

  • 光的干涉表现为,光强在空间出现具有一定规律的突变分布,且这种分布不随时间变化。然而,普通光源所发出的光,是不满足相干条件的;

  • 为了实现光的干涉,就必须制备相干光源。总体上分为两种方法:

    分波阵面发;

    分振幅法。

分波阵面法制备相干光

1.杨氏双缝干涉实验

杨氏双缝干涉实验

  • δ=dsinθθsinθtanθδ=dtanθ=dxD=xdDλ{δ=xdD=±kλ,k=0,1,2,...xk=±kDλdδ=xdD=±(k+12)λ,k=0,1,2,...xk=±(2k+1)Dλ2dΔx=Dλd光程差\delta=dsin\theta\\ 由于\theta角很小,所以有sin\theta\approx tan\theta\\ 所以得到\delta=dtan\theta=d\frac{x}{D}=\frac{xd}{D}\\ 设实验所用的是波长为\lambda的单色光\\则有 \begin{cases} 干涉加强|明条纹 &\delta=\frac{xd}{D}=\pm k\lambda,k=0,1,2,...\Rightarrow x_k=\pm k\frac{D\lambda}{d}\\ 干涉减弱|暗条纹 &\delta=\frac{xd}{D}=\pm (k+\frac{1}{2})\lambda,k=0,1,2,...\Rightarrow x_k=\pm (2k+1)\frac{D\lambda}{2d} \end{cases}\\ 名暗条纹都是等间距分布的,即无论是两条相邻的明条纹或是两条相邻的暗条纹\\ 条纹中心间距都为\Delta x=\frac{D\lambda}{d}

2.多光束干涉

3.劳埃德镜

4.菲涅尔双棱镜

分振幅法制备相干光源——薄膜干涉

1.等倾条纹

等倾条纹干涉

δ=2ne+λ2,n,e相应的薄膜干涉的光程差方程式为\delta=2ne+\frac{\lambda}{2},n为折射率,e为厚度

2.等厚干涉

1.劈尖形薄膜的干涉

等厚干涉条纹

eδ=2ne+λ2δ=2nek+λ2=kλ,k=1,2,3,...kekδ=2nek+λ2=(k+12)λ=(2k+1)λ,k=0,1,2,3,...kekklk=ekθθΔe=λ2nΔl=Δeθ=λ2nθ由于薄膜各处的厚度e不同,光程差也不同,因而会产生明暗相间的干涉条纹\\ 光程差\delta=2ne+\frac{\lambda}{2}\\ 当劈尖上下表面的反射光间的光程差等于入射光波长的整数倍时,干涉会产生明条纹\\ 即\delta=2ne_k+\frac{\lambda}{2}=k\lambda,k=1,2,3,...第k级明条纹所在处的厚度为e_k\\ 当劈尖上下表面的反射光间的光程差等于入射光半个波长的奇数倍时,干涉会产生暗条纹\\ 即\delta=2ne_k+\frac{\lambda}{2}=(k+\frac{1}{2})\lambda=(2k+1)\lambda,k=0,1,2,3,...第k级暗纹所在处的厚度为e_k\\ 由图中的几何关系可知,第k级条纹到棱边的距离l_k=\frac{e_k}{\theta},式中,\theta为劈尖夹角\\ 相邻明条纹或暗条纹中心之间的厚度差相等,值为\Delta e=\frac{\lambda}{2n}\\ 通过几何关系可以得到相邻明条纹或暗条纹中心之间的距离也是相等的,值为\Delta l=\frac{\Delta e}{\theta}=\frac{\lambda}{2n\theta}

2.牛顿环干涉

牛顿环装置

ek=r22Rkrk=(2k1)Rλ2n=2k12Rλn,k=1,2,3,...krk=kRλn=kRλn,k=0,1,2,3,...rk=ck,Nd=Nλ2e_k=\frac{r^2}{2R}\\ 中间是暗纹\\ 第k级明条纹的半径为r_k=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}}=\sqrt{\frac{2k-1}{2}}\sqrt{\frac{R\lambda}{n}},k=1,2,3,...\\ 第k级暗条纹的半径为r_k=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}=\sqrt{k}\sqrt{\frac{R\lambda}{n}},k=0,1,2,3,...\\ 可以看出r_k=c\sqrt{k},所以离中心越远条纹越密\\ 对于空气薄膜,保持玻璃片不动\\ 透镜向上平移,则可观察到牛顿环逐渐缩小并在中心处消失\\ 若透镜向下平移,牛顿环将自中心处冒出并变大\\ 只要数出从中心处冒出或消失的条纹数N,就可以计算出透镜移动的距离d=N\frac{\lambda}{2}

3.迈克尔孙干涉仪

迈克尔孙干涉仪示意图

  • 光程差为两倍

二、光的衍射

  • 用激光照射障碍物,很容易演示光的衍射现象;

  • 根据观察方式的不同,通常把衍射分为两类

    两种衍射

    一类如图a所示,光源和(或)观察屏离开衍射缝或衍射孔的距离有限,这种衍射称为菲涅尔衍射,或进场衍射;

    一类如图b所示,光源和观察屏都距离衍射缝或衍射孔无限远处,这种衍射称为父琅禾费衍射,或远场衍射;

    夫琅禾费衍射实际上时菲涅尔衍射的极限情形。

单缝夫琅禾费衍射

单缝夫琅禾费衍射光强分布

δ=asinϕI=I0(sinuu)2u=πasinϕλ=±kπ,k=1,2,3,...,I=0asinϕ=±kλ,k=1,2,3,...tanu=u{ϕ=0asinϕ=±kλ,k=1,2,3,...asinϕ=±(k+12)λ,k=1,2,3,...a,ϕ0=线N=δλ/2光程差\delta=asin\phi\\ 光强分布I=I_0(\frac{sinu}{u})^2\\ 所以当u=\frac{\pi asin\phi}{\lambda}=\pm k\pi,k=1,2,3,...,有I=0\\ 所以暗条纹出现的条件是asin\phi=\pm k\lambda,k=1,2,3,...\\ 在相邻两个暗条纹之间,有一次级大的条件为tanu=u\\ 次级大的光强比中央明条纹的光强小得多,并且随着级数增加而急剧减小\\ 综上所述\\ \begin{cases} 中央明条纹中心 & \phi=0\\ 暗条纹中心 & asin\phi=\pm k\lambda,k=1,2,3,...\\ 次级大明条纹中心 & asin\phi=\pm (k+\frac{1}{2})\lambda,k=1,2,3,... \end{cases}\\ 其中a为缝的宽度\\ 中心区非常亮\\ 对于非中心区域,\phi\neq0\\ 半波带数=光线条数 N=\frac{\delta}{\lambda/2}\\

光栅衍射

  • 所谓光栅,实际上是在空间具有周期性分布的透射光或反射光的光学元件;

  • :(a+b)sinϕ=kλk=0,±1,±2,...a=(a+b)/=(a+b)/λ亮纹条件:(a+b)sin\phi=k\lambda k=0,\pm1,\pm2,...\\ 最小宽度a=(a+b)/第一次缺级级数\\ 最大衍射级=(a+b)/\lambda\\

三、光的偏振

自然光与偏振光

起偏和检偏

  • 光第一次通过偏振片时,光强会减少一半,此时该偏振片称为起偏器,即用于产生偏振光;

  • 当偏振片用来检验光的偏振状态时,叫做检偏器;

  • I=I0cos2θ光透过偏振器后的光强为I=I_0cos^2\theta

Chapter4:狭义相对论

一、洛伦兹变换与侠义相对论的时空观

狭义相对论的两个基本假设

  • 相对性原理:在任何一个惯性参考系中,物理规律的形式相同,简单地说就是所有的惯性系等价;
  • 光速不变原理:真空中的光速在所有的惯性参考系中都相同,与观察者和光源的运动无关;
  • 这一原理的一个直接结果是物体的运动速度不可能达到真空中的光速;

洛伦兹变换(狭义相对论的坐标变换)

Example

Example

Kx=0x=vtγ=11v2c2>1x=γ(xvt)y=yz=zt=γ(tvc2x)vc,γ=1x2+y2+z2c2t2=x2+y2+z2c2t2两个观察者同时观察参考系K的坐标原点,坐标分别为x=0,x'=-vt'\\ 变换因子\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}>1\\ 可以得到以下关系\\ x'=\gamma(x-vt)\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\gamma(t-\frac{v}{c^2}x)\\ 当v\ll c时,变换因子\gamma=1\\ 用洛伦兹变换可以直接验证关系x^2+y^2+z^2-c^2t^2=x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2

二、相对论力学

F=dpdt,p=mv牛顿力学的核心规律\\ 牛顿第二定律 F=\frac{dp}{dt},p=mv

相对论质量与动量

m=m01v2c2m0p=mv=m0v1v2c2相对论质量m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ 式中m_0是与物体保持相对静止的观察者测得的物体质量,简称静止质量\\ 利用相对论质量,物体的相对论动量是p=mv=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

相对论动能

Ek=mc2m0c2E_k=mc^2-m_0c^2

相对论的总能量和质能关系

E=Ek+m0c2=mc2E0=m0c2一个质点的相对论总能量为E=E_k+m_0c^2=mc^2\\ 静止能量为E_0=m_0c^2

Chapter5:物质的波粒二象性

一、黑体辐射与能量子

  • 为了描述物体发射电磁波的本领,定义辐出度e(T)

  • 其物理意义是单位时间内从辐射源表面单位面积发出的辐射能量,单位是W/m²;

  • 对应某一特定波长的辐出度称为单色辐出度,用e(λ,T)表示;

  • 其物理意义是单位时间内从辐射源表面单位面积发出的单位波长间隔的辐射能量;

  • 总辐出度与单色辐出度有一下关系

    e(T)=0e(λ,T)dλe(T)=\int_0^\infty e(\lambda,T)d\lambda

黑体与黑体辐射

  • 物体的吸收系数与物体的温度和入射波的波长都有关系,波长在λ~λ+dλ范围内的吸收数叫做单色吸收系数,用符号a(λ,T)表示;
  • 通常,我们把能够完全反射所有波长光波的物体叫做白体,白体的吸收系数a(λ,T)=0;
  • 能够完全吸收所有波长光波的物体叫做黑体,黑体的吸收系数a(λ,T)=1;
  • 介于二者之间的物体叫灰体,灰体的吸收系数满足0<a(λ,T)<1;
  • 有一些物体只对某些波长或者某段的光有明显的吸收,对其他波长吸收很少或者不吸收,这样的物体称为选择性吸收体;
  • 实际中,那些有色反光物就属于选择性吸收体。

理想黑体模型

  • 黑体是一个理想的物理模型,它并不等同于黑色的物体,因为黑色的物体也会有少量地反射电磁波,吸收系数不是绝对等于1;

  • 现实生活中,绝对的白体或黑体并不存在;

  • e1(λ,T)a1(λ,T)=e2(λ,T)a2(λ,T)=...=e0(λ,T)e0(λ,T)研究表明,吸收能力越强的物体,辐射本领也越强\\ 相同温度条件下,任何物体的单色辐出度与吸收系数的比值都相同,且都等于黑体的单色辐出度\\ 即\frac{e_1(\lambda,T)}{a_1{(\lambda,T)}}=\frac{e_2(\lambda,T)}{a_2{(\lambda,T)}}=...=e_0(\lambda,T)\\ e_0(\lambda,T)代表黑体的单色辐出度,只是波长和温度的函数\\

  • 黑体辐出度与温度关系式

    e(T)=σT4,σ=5.670373108Wm2K4,e(T)=\sigma T^4\\ 式中,\sigma=5.670373\ast10^{-8}W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4},称为斯特藩常量\\

  • 黑体辐射能谱峰值对应的波长λm与黑体温度的关系

    λmT=b,b=2.8977721×103mKb\lambda_mT=b\\ 式中,常量b=2.8977721\times10^{-3}m\cdot K\\ 该结果成为维恩位移定律,常量b称为维恩位移常量\\ 不难发现,温度升高,能谱峰值对应的波长变短\\

  • e(λ,T)=c1λ5ec2/(λT),c1c2维恩辐射公式e(\lambda,T)=c_1\lambda^{-5}e^{-c_2/(\lambda T)}\\ 式中,c_1和c_2是两个常量\\

  • e(λ,T)=2πcλ4kT,k,c空腔辐射的辐出度按波长分布的瑞利—金斯公式\\ e(\lambda,T)=\frac{2\pi c}{\lambda^4}kT\\ 式中,k是玻尔兹曼常量,c是真空中光速\\

  • 线,e(λ,T)=2πhc2λ51ehcλkT1,h=6.626070040(81)×1034Js维恩公式在短波波段与实验符合较好,而瑞丽-金斯公式在长波波段与实验曲线相吻合\\ 德国物理学家普朗克得到了一个经验公式,现称为普朗克公式\\ e(\lambda,T)=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}-1}}\\ 式中,h=6.626070040(81)\times10^{-34}J\cdot s是一个常量,与黑体的材料,性质和温度都无关,叫做普朗克常量\\ 在波长很小的时候,普朗克公式成为维恩公式;波长很大时,普朗克公式可以得到瑞丽-金斯公式\\

光电效应装置示意图

  • 光电效应的实验规律可以归纳为以下四条

    1. 光电子出现与否与照射金属所用光的强度没有直接关系。仅当照射物体的光频率不小于某个确定值时,物体才能发出光电子,这个频率叫做红限频率(或截止频率),相应的波长叫做红限波长。不同物质的红限波长是不同的;

    2. 光电子脱出物体时的初速度或者出动能和照射光的频率有关而和光强无关,并且光电子的初始动能与入射光的频率有线性关系;

    3. ,,109s;,,从实验知道,产生光电流的过程非常快,一般不超过10^{-9}s;\\ 光照停止,光电流也随之停止。这表明,光电效应是瞬时的。

    4. 饱和电流与入射光的强度成正比,也就是说单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光的强度成正比。

爱因斯坦的光量子(光子)理论

  • 爱因斯坦把量子性从辐射的机制引申到光本身上,认为光本身也不是连续的,光不仅在吸收和发射时是量子化的,而且光本身也是量子化的;

  • νϵ=hνhν=W+12mv2W,Ek=12mv2,:,,,eUa=Ek线,,,,,,具体来说,爱因斯坦认为,一束频率为\nu的光,是一束光子流\\ 每个光子具有\epsilon=h\nu的能量\\ 光电效应就是光子与电子碰撞的结果\\ 根据能量守恒,可以写出以下等式\\ h\nu=W+\frac{1}{2}mv^2\\ 左边是入射光子的能量\\ 右边第一项W是将束缚在金属中的电子打出所需要的最小能量,成为逸出功\\ 右边第二项是出射光电子的初始动能E_k=\frac{1}{2}mv^2,也是最大动能\\ 方程的物理意义为:入射光子的能量,一部分用来克服束缚电子的势场做功,余下的就变成了电子的动能\\ 该式也成为爱因斯坦方程\\ 根据遏止电压的定义,遏止电压满足eU_a=E_k\\ 爱因斯坦方程本身就是光子频率与光电子初动能或者遏止电压的线性关系\\ 由于碰撞是瞬时的,只要光子的能量足够大,光电子就会马上出现,不需要时间的积累\\ 光强较强时,光子较多,光电子相应的也会增多,光电流也随之增大\\

光的波粒二象性概念

  • 爱因斯坦认为光是波动性和粒子性的复合体,光具有波粒二象性;

  • 光子的波动性与粒子性是光子本性在不同条件下的表现;

  • 波动性突出表现在其传播过程中,粒子性则突出表现在物体的电磁辐射与吸收,光子与物质的相互作用中;

  • 需要指出的是,在同一条件下,光子或者表现出粒子性,或者表现出波动性,两者不可能同时都表现出来;

  • :ϵ=hν:p=mc2c=hνc=hλh光子的粒子性:\epsilon=h\nu\\ 光子的波动性:p=\frac{mc^2}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\\ 这两个关系也被称为爱因斯坦关系\\ 这里,起着桥梁作用的是普朗克常量h\\

三、康普顿散射

利用光子的概念,爱因斯坦成功解释了光电效应的各项试验结果。但是,光电效应涉及的只是光子的能量,而没有涉及光子的动量。作为一个粒子,光子具有动量,应该能够得到实验的直接证实,而康普顿散射实验直接证实了光子动量的存在。

康普顿散射实验

康普顿散射装置示意图

光子与电子的碰撞

光子与电子碰撞示意图

线Δλ=λλ0=2hm0csin2θ2=hm0c(1cosθ),hm0c,λc,λc=0.00243nm散射射线波长的改变量\\ \Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=2\frac{h}{m_0c}sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{h}{m_0c}(1-cos\theta)\\ 式中,常量\frac{h}{m_0c}是一个具有长度量纲的量,称为电子的康普顿波长\\ 用符号\lambda_c表示,\lambda_c=0.00243nm\\

四、物质波与德布罗意关系

德布罗意设想,具有波动性的光可以具有粒子性,那么对于实物粒子很可能也具有波动性。德布罗意进一步猜测,关于光子的亮哥哥爱因斯坦关系式,是否适用于实物粒子?通过电子在晶体上的衍射实验,直接证证实了电子的波动特性。此后,人们相继证实了原子,分子,中子等都具有波动性。德布罗意的设想最终都得到了完全的证实。这样,所有的物质都具有波粒二象性,这些波被称为德布罗意波,也叫做物质波。

德布罗意关系

广:E=hν=hωp=hλ=hk,h=h2π,ω=2πν,k=2πλ,德布罗意将爱因斯坦关系推广到一般情况,对于所有物质有如下关系:\\ E=h\nu=\overline{h}\omega\\ p=\frac{h}{\lambda}=\overline{h}k\\ 式中,\overline{h}=\frac{h}{2\pi},园频率\omega=2\pi\nu,波数k=\frac{2\pi}{\lambda}\\ 此为德布罗意关系\\ 式子左边的动量和能量描述粒子特征,而式子右边的波长和频率描述波动特征\\

五、氢原子和玻尔的量子论

  • α粒子的散射实验:原子的有核结构模型;

氢原子的光谱特性

线,σ=1λ=R(1221n2),n=3,4,5,...,σ,R,1.0973731568508(65)×107m1线任何原子的光谱都是线状的,而且每种原子都具有自己的特征光谱\\ 氢原子光谱是最简单的一种原子光谱\\ \sigma=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}),n=3,4,5,...\\ 式中,\sigma称为波数,即波长的倒数\\ R称为氢原子的里德伯常量,等于1.0973731568508(65)\times10^7m^{-1}\\ 这一公式所表达的一组光谱线称为巴尔末系\\

线σ=1λ=R(1m21n2),mm<n之后发现分布在氢可见光区右侧的紫外及红外光谱区的若干谱线系\\ 他们可以用综合公式表示为\\ \sigma=\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})\\ 式中,m是正整数且m<n\\

玻尔的量子论

  • 首先利用爱因斯坦的光子概念,得到了氢原子能量量子化的结果式

    En=Rhcn2E1=13.6ev,,n2,n=2,3,E_n=-\frac{Rhc}{n^2}\\ E_1=-13.6ev,这是氢原子的最低能量,对应的状态称为基态\\ n≥2时的状态叫做激发态,例如n=2,3的状态分被称为第一激发态和第二激发态\\ 氢原子的能量是分离的,也称之为量子化的\\

  • 然后假设电子绕原子核的运动仍然遵从牛顿运动定律,就得到了电子轨道半径和角动量的量子化结果式

    :rn=e28πϵ0Rhcn2,nL=r×p=rmv=nh2π电子圆周运动半径的量子化结果:r_n=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0Rhc}n^2\\ 与能量的下脚标一样,半径的下脚标表示半径与整数n有关\\ 这些半径统称为玻尔半径\\ 角动量为L=r\times p=rmv=n\frac{h}{2\pi}\\

  • 这些就是波尔理论的基本内容

  • 综上所述,波尔理论包含以下三条假设

    1. 原子中电子运动轨道量子化假设:电子只能在一些特定的轨道上运行而不辐射电磁波。这时原子处于稳定状态,简称定态;
    2. 原子能级的跃迁假设:原子从一个定态跃迁到另一个定态时,原子辐射一定频率的光子,光子的能量由这两种定态的能量差决定;
    3. 角动量的量子化假设。

Chapter6:量子力学基础

一、物质波波函数的特性

自由粒子的波函数形式

,沿()y(x,t)=Acos[2π(νtxλ)]y(x,t)=Aei2π(νtxλ)在经典物理中,介质中沿某个方向传播的简谐波(平面波)的形式为\\ y(x,t)=Acos[2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})]\\ 也可以将其写成复数形式\\ y(x,t)=Ae^{-i2\pi(\nu t-\frac{x}{\lambda})}\\ 实际存在的波是复数形式的实部\\

ψ(x,t)ψ(x,t)=Aei(pxEkt)h,广,ψ(r,t)=Aei(prEkt)h物质波的波函数用符号\psi(x,t)表示\\ \psi(x,t)=Ae^{\frac{i(px-E_kt)}{\overline{h}}}\\ 物质波的强度代表粒子在空间出现的概率,所以波函数也因此称为概率幅\\ 将波函数推广到三维情况,有\psi(r,t)=Ae^{\frac{i(p\cdot r-E_kt)}{\overline{h}}}\\

不确定原理

ΔxΔpx=h,,ΔxΔpxhΔp=hλ2Δλ\Delta x\Delta p_x=h\\ 值得注意的是,该乘积是一个绝对常量\\ 如果考虑到其他亮纹,电子动量不确定度会大于上式中给出的数值\\ 变为\,\Delta x\Delta p_x≥h\\ 该关系称为海森伯不确定关系\\ 此外还有\Delta p=\frac{h}{\lambda^2}\Delta\lambda\\

二、薛定谔方程

波函数的标准条件

  • 物质波的波函数为复数,因此在某一时刻在空间某处发现例子的概率正比于波函数ψ(r,t)与其共轭ψ*的乘积;

  • 在体积dV=dxdydz内发现粒子的概率正比于|ψ|²dV=ψψ*dV;

  • 对于某个粒子,要么出现在空间的这个区域,要么出现在另一个区域。换句话说,在整个空间找到这个自理的概率是100%

    ψ2dV=1,,,所以有\int|\psi|^2dV=1\\ 此式称为波函数的归一化条件\\ 满足此式的波函数成为归一波函数\\ 归一化后,波函数的绝对值的平方是概率密度\\ 经典波的振幅具有实际意义,例如机械波的振幅代表位移等,因此不存在归一化问题\\

  • 在给定的时刻,粒子在空间某处出现的概率必须是一个确定的数值,因此波函数ψ(r,t)应该是单值和有限的;

  • 此外,概率不会在某处发生突变,因此波函数也要求是连续的;

  • 总之,物质波的波函数应该是单值,有限和连续的,这就是波函数要满足的标准条件

量子力学的基本方程——薛定谔方程

  • 对于做非相对论运动的粒子,动能与动量的关系为

    E=p22m,,k,E,E=\frac{p^2}{2m}\\ 对于自由粒子,动能就是其总能量,所以去掉了动能中的下脚标k\\ 下面主要讨论的是非相对论情况,习惯上我们\pmb{\underline{仍然用E表示非相对论粒子的机械能,或者非相对论的总能量}}\\

一维定态薛定谔方程的求解

三、一维定态系统

一维无限深方势阱

四、氢原子

薛定谔方程

描述氢原子状态的三个量子数

  • 我们关注氢原子的三个物理量:能量,角动量和角动量的分量。在量子力学中,它们的取值都是分离的,或者说是量子化的;

  • 氢原子的能级为

    En=mee42h(4πϵ0)2n2,n=1,2,3,...nE1=13.6evEn=13.6n2E_n=-\frac{m_ee^4}{2\overline{h}(4\pi\epsilon_0)^2n^2},n=1,2,3,...\\ 量子数n称为\underline{\pmb{主量子数}}\\ 基态能量E_1=-13.6ev\\ 上式也可以写成E_n=\frac{-13.6}{n^2}\\

  • 角动量的二次方取值为

    L2=l(l+1)hll=0,1,2,3,...,n1,l,s,p,d,f,g,hl=0,1,2,3,4,5zLz=mlhl,ml,:0,±1,±2,...,±lL^2=l(l+1)\overline{h}\\ 量子数l叫做\underline{\pmb{角量子数}}的取值为l=0,1,2,3,...,n-1\\ 将角动量的二次方开方,在量子数l很大的情况下得到于玻尔理论相同的结果\\ 在光谱学中,用符号s,p,d,f,g,h表示量子数l=0,1,2,3,4,5的状态\\ 角动量的z分量或者第三分量的取值为L_z=m_l\overline{h}\\ 对于给定的l,量子数m_l也叫磁量子数,其取值为:0,\pm1,\pm2,...,\pm l\\

  • ms=±12,s=12磁量子数m_s=\pm\frac{1}{2},自旋量子数s=\frac{1}{2}\\

电子的概率分布 电子云

五、电子的自旋 原子的壳层结构

电子的自旋

泡利不相容原理

  • 1925年,泡利提出
  • 在一个原子中,不可能有两个或两个以上地电子具有完全相同的量子态,即原子中的任何两个电子不可能有完全相同的一组量子数;

壳层结构 原子的电子组态

  • 早在1916年,W.Kossel提出多电子原子中核外电子按壳层分布的形象化模型。他认为主量子数n相同的电子组成一个主壳层,对应于n=1,2,3,4,5,6,…的各个主壳层分别用大写字母K,l,M,N,O,P,…表示;

  • 在每一主壳层内,又按角量子数l分为若干支壳层,l=0,1,2,3,4,5,…的支壳层分别用小写字母s,p,d,f,g,h,…表示;

  • 对于确定的n和l,用nl表示,如1s,2s,2p,…;

  • 泡利原理指出,每一支壳层和每一主壳层上可以占据的电子数是有限的,一些支壳层和主壳层可以容纳的电子数如下表所示

    n\l 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g 5 h 6 i Zn
    1 K 2 2
    2 L 2 6 8
    3 M 2 6 10 18
    4 N 2 6 10 14 32
    5 O 2 6 10 14 18 50
    6 P 2 6 10 14 16 22 72
    7 Q 2 6 10 14 16 22 26 98
  • 电子在原子中的分布还符合能量最小原理:当原子处于正常状态时,原子中的电子尽可能地占据未被填充地最低能级。可见,能量较低的壳层首先被电子填充,只有当低能级地壳层被填充满后,电子才依次向高能级地壳层填充;

  • 当一个原子中的每个电子状态n和l均被指定后,则称该原子具有一定的电子组态。